Matematica discreta Esempi

$x^{2} - y^{2} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Passaggio 2.3.1.3

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Riordina $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 7.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 7.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 7.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Passaggio 7.6.1.3

Il lato sinistro di $15$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 7.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Passaggio 7.6.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 7.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 7.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Passaggio 7.6.3.3

Il lato sinistro di $15$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 7.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 7.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 1$ o $x \geq 1$

Passaggio 8

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Passaggio 9